Вопросы к экзамену по вычислительной математике
(Предварительный вариант)
- Вычисление значений многочлена. Схема Горнера.
- Многочлен Тейлора функции f в точке x0. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.
- Интерполяционный многочлен Лагранжа. Узлы интерполяции. Экстраполяция. Доказательство теоремы о существовании и единственности. Лагранжевы коэффициенты.
- Погрешность интерполяции. Вывод формулы для остаточного члена интерполяционного многочлена. Погрешность линейной интерполяции.
- Минимизация оценки погрешности. Многочлены Чебышева, их свойства (четность и нечетность; старший коэффициент; корни; максимум модуля); доказательство минимальности максимума модуля на отрезке. Интерполяционный многочлен с узлами в корнях многочлена Чебышева.
- Интерполяция с равноотстоящими узлами. Вывод формулы для оценки максимальной погрешности.
- Конечные и разделенные разности; формулы для разделенных разностей. Интерполяционный многочлен Ньютона. Случай равноотстоящих узлов: форма многочлена для интерполяции вперед и назад.
- Доказательство справедливости простейших формул численного дифференцирования с остаточными членами. Разностная производная; центральная разностная производная; вторая разностная производная.
- Получение формул численного дифференцирования через интерполяционный многочлен Лагранжа. Выбор оптимального шага.
- Сплайн. Степень и дефект сплайна. Выражение для кубического сплайна на частичном отрезке. Способы задания наклонов (локальные, глобальный) интерполяционного кубического сплайна. Формулировка теоремы о погрешности приближения.
- Многочлен наилучшего равномерного приближения функции f. Формулировка теоремы Чебышева о многочлене наилучшего равномерного приближения.
- Метод наименьших квадратов. Скалярное произведение (аксиомы; возможные определения для непрерывных и дискретных функций.) Норма. Определитель Грама системы функций. Ортогональность. Существование и единственность многочлена наилучшего среднеквадратичного приближения.
- Квадратурные формулы. Доказательство обобщенной теоремы о среднем. Формулы прямоугольников и трапеций; вывод формул для остаточного члена.
- Формула Симпсона; вывод формулы для остаточного члена. Вывод усложненных (полных) квадратурных формул прямоугольников, трапеций, Симпсона.
- Каноническая квадратурная формула Гаусса. Доказательство точности для многочленов степени 2n − 1. Вывод усложненной квадратурной формулы Гаусса.
- Вывод правила Рунге практической оценки погрешности. Главная часть погрешности. Уточнение приближенного решения по Ричардсону.
- Метод Монте-Карло. Вычисление определенных интегралов. Сравнение с квадратурными формулами.
- Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Сетки и сеточные функции. Метод Эйлера и вывод его погрешности.
- Методы Рунге-Кутта. Метод «предиктор—корректор». Усовершенствованный метод Эйлера. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Метод Адамса. Решение систем уравнений.
- Метод последовательного исключения Гаусса. Прямой и обратный ход. Применение метода для решения нескольких систем, различающихся правыми частями; вычисления определителя и обратной матрицы. Схема с выбором главного элемента.
- Нормы и обусловленность матриц. Смысл меры обусловленности матрицы. Пример плохо обусловленной системы уравнений.
- Метод простых итераций и метод Зейделя. Доказательство теоремы о достаточных условиях и скорости сходимости метода простых итераций.
- Краевая задача для трехточечного разностного уравнения. Метод прогонки.
- Нахождение максимального по модулю собственного значения.
- Метод итераций решения нелинейного уравнения с одной неизвестной. Условие Липшица. Доказательство теоремы о существовании и единственности решения на отрезке. Оценки погрешности. Геометрическая интерпретация. Использование метода итераций на примере нахождения значения квадратного корня.
- Метод итераций решения системы нелинейных уравнений. Доказательство теоремы о существовании и единственности решения на замкнутом шаре. Оценки погрешности. Связь с методом простых итераций.
- Метод Ньютона решения нелинейного уравнения с одной неизвестной. Доказательство теоремы о единственности решения. Скорость сходимости. Связь с методом итераций. Упрощенный метод Ньютона.
- Метод деления отрезка пополам. Метод наискорейшего (градиентного) спуска.