Примерный список индивидуальных заданий по вычислительной математике

Приведены примерные темы индивидуальных заданий по вычислительной математике. Порядок и круг затрагиваемых во­про­сов соответствуют, в основном, материалу глав 1‒4 (Волков Е. А. Численные методы. М., 1982), однако полезными могут также оказаться (Численные методы / Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. М., 2008. ISBN 978-5-94774-815-4) и (Рыжиков Ю. И. Вычислительные методы. СПб., 2007. ISBN 978-5-9775-0137-8.)

Приближение функций многочленами

В данном разделе рассматриваются способы построения интерполяционных и аппроксимационных многочленов произ­вольных функций. (В первую очередь — заданных таблично.) Кроме того, рассматривается численное нахождение (приближенного) значения производной функции в точке, основанное на фактической замене исходной функции ее интерполяционным многочленом.

Численное интегрирование

Задачи на нахождение значений определенных интегралов произ­вольных функций, а также на решение обыкновенных дифферен­циальных уравнений и их систем.

Дано:

(Для методов прямоугольников, трапеций, Симпсона, Гаусса.) Функция f (x) с известными производными до n-го порядка включительно (в зависимости от порядка точности метода.) Нижний предел интегрирования a, шаг h, количество шагов N.

(Для метода Монте-Карло.) Функция f (x1, …, xn); область интегрирования D.

(Для методов Рунге-Кутты и Адамса.) Система обыкновенных дифферен­циальных уравнений u′ = fi (t, u1, …, un). Вектор начальных условий; шаг h и количество шагов N.

Найти:

(Для методов прямоугольников, трапеций, Симпсона, Гаусса.) Fi = ∫aa + ihf (x) dx, i = 1, …, N. Оценки и фактические значения ошибок.

(Для метода Монте-Карло.) Значения кратных интегралов; оценки и фактические значения ошибок.

(Для методов Рунге-Кутты и Адамса.) Значения вектор-функции ui = u (hi), i = 1, …, N.

Численные методы линейной алгебры

Нахождение решений систем линейных алгебраических уравнений и смежные вопросы.

Дано:

Система n линейных алгебраических уравнений, заданная n × (n + 1) действительными числами — коэффициентами при неизвестных и вектором правой части.

Для метода прогонки — 4 × n + 6 действительными числами.

(Для метода отражений и задачи о нахождении максимального по модулю собственного значения.) Матрица n × n действительных чисел.

Для метода последовательного исключения Гаусса следует рассмотреть случай более чем одного вектора правой части. (Другими словами, входными данными программы являются n × (n + m) действительных чисел, m ⩾ 1.)

Найти:
  1. (Для методов Гаусса, Зейделя, простых итераций, прогонки.) Вектор (вектора) n неизвестных.
  2. (Для метода Гаусса.) Определитель и меру обусловленности матрицы коэффициентов; обратную к ней матрицу.
  3. (Для задачи о нахождении максимального по модулю собственного значения.) Максимальное по модулю собственное значение и соответствующий ему собственный вектор. Вывод о наличии или отсутствии равного по модулю и противоположного по знаку и кратного собственных значений.
  4. (Для метода отражений.) Результирующая (приведенная к треугольному или трехдиагональному виду) матрица.

Методы решения нелинейных уравнений и систем

Методы решения нелинейных уравнений вида f (x) = 0, x = φ (x) и их систем.