Вопросы к экзамену по вычислительной математике

(Предварительный вариант)

  1. Вычисление значений многочлена. Схема Горнера.
  2. Многочлен Тейлора функции f в точке x0. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.
  3. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Узлы интерполяции. Экстраполяция. Доказательство теоремы о существовании и единственности. Лагранжевы коэффициенты.
  4. Погрешность интерполяции. Вывод формулы для остаточного члена интерполяционного многочлена. Погрешность линейной интерполяции.
  5. Минимизация оценки погрешности. Многочлены Чебышева, их свойства и корни; доказательство минимальности максимума модуля. Интерполяционный многочлен с узлами в корнях многочлена Чебышева; сравнение оценки ошибки с оценкой ошибки для многочлена Тейлора.
  6. Интерполяция с равноотстоящими узлами. Вывод формулы для оценки максимальной погрешности.
  7. Конечные и разделенные разности. Интерполяционный многочлен Ньютона. Случай равноотстоящих узлов: форма многочлена для интерполяции вперед и назад.
  8. Доказательство справедливости формул численного дифференцирования с остаточными членами. Разностная производная; центральная разностная производная; вторая разностная производная.
  9. Получение формул численного дифференцирования через интерполяционный многочлен Лагранжа. Выбор оптимального шага.
  10. Сплайн. Степень и дефект сплайна. Выражение для кубического сплайна на частичном отрезке. Способы задания наклонов (локальные, глобальный) интерполяционного кубического сплайна. Формулировка теоремы о погрешности приближения.
  11. Многочлен наилучшего равномерного приближения функции f. Формулировка теоремы Чебышева о многочлене наилучшего равномерного приближения.
  12. Метод наименьших квадратов. Многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения.
  13. Квадратурные формулы. Доказательство обобщенной теоремы о среднем. Формулы прямоугольников и трапеций; вывод формул для остаточного члена.
  14. Формула Симпсона; вывод формулы для остаточного члена. Вывод усложненных (полных) квадратурных формул прямоугольников, трапеций, Симпсона.
  15. Каноническая квадратурная формула Гаусса. Доказательство точности для многочленов степени 2n − 1. Вывод усложненной квадратурной формулы Гаусса; ее остаточный член.
  16. Вывод правила Рунге практической оценки погрешности. Главная часть погрешности. Уточнение приближенного решения по Ричардсону.
  17. Метод Монте-Карло. Вычисление определенных интегралов. Сравнение с квадратурными формулами.
  18. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Сетки и сеточные функции. Метод Эйлера и вывод его погрешности.
  19. Методы Рунге-Кутта. Метод «предиктор—корректор». Усовершенствованный метод Эйлера. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Метод Адамса.
  20. Метод последовательного исключения Гаусса. Прямой и обратный ход. Применение метода для решения нескольких систем, различающихся правыми частями; вычисления определителя и обратной матрицы. Схема с выбором главного элемента.
  21. Норма и обусловленность матриц. Смысл меры обусловленности матрицы. Пример плохо обусловленной системы уравнений.
  22. Метод простых итераций и метод Зейделя. Доказательство теоремы о достаточных условиях и скорости сходимости метода простых итераций.
  23. Метод прогонки.
  24. Нахождение максимального по модулю собственного значения.
  25. Метод итераций решения нелинейного уравнения с одной неизвестной. Условие Липшица. Доказательство теоремы о существовании и единственности решения на отрезке. Оценки погрешности. Геометрическая интерпретация. Использование метода итераций на примере нахождения значения квадратного корня.
  26. Метод итераций решения системы нелинейных уравнений. Доказательство теоремы о существовании и единственности решения на замкнутом шаре. Оценки погрешности. Связь с методом простых итераций.
  27. Метод Ньютона решения нелинейного уравнения с одной неизвестной. Доказательство теоремы о единственности решения. Скорость сходимости. Связь с методом итераций. Упрощенный метод Ньютона.
  28. Метод деления отрезка пополам. Метод наискорейшего (градиентного) спуска.