Задачи к экзамену по вычислительной математике

(Предварительный вариант)

  1. Функция f (x) задана следующей таблицей. Построить кубический интерполянт для функции и найти ее значение в точке 1.5. Оценить ошибку интерполяции при условии, что модуль четвертой производной функции на отрезке не превышает 0.27.

    x       0     1     2     3
    f (x)   0.741 0.905 1.105 1.350
    
  2. Функция f (x) и ее производная заданы следующей таблицей. Построить кубический сплайн для функции и найти ее значение в точках 1, 3.

    x       0     2     4
    f (x)   1     0    -1
    f′ (x)  0    -0.79  0
    
  3. Функция f (x) задана следующей таблицей. Найти границы значений ее первообразной в точках 2, 4, 6, 8 используя квадратурные формулы прямоугольников и трапеций.

    x       1     2     3     4     5     6     7     8     9
    f (x)   2.210 2.443 2.700 2.984 3.297 3.644 4.028 4.451 4.919
    
  4. Функция f (x) задана следующей таблицей. Вычислить с использованием формулы Гаусса по трем точкам определенный интеграл от функции в пределах от 0.5 до 4.5. Узлы и веса формулы Гаусса приведены ниже.

    x       0.72540 1.50000 2.27460 2.72540 3.50000 4.27459
    f (x)   1.05797 1.28403 1.55838 1.74429 2.11700 2.56934
    x₁, x₂  0       0.77460
    q₁, q₂  0.88889 0.55556
    
  5. Используя метод последовательного исключения Гаусса, найти матрицу, обратную к данной ниже. Для проверки, умножить полученную матрицу слева на вектор-столбец (1 2 5), после чего умножить исходную матрицу слева на результат.

    0   1   0.1
    1   0.1 0
    0.1 0   1
    
  6. Решить методом итераций уравнение x = cos x с точностью не хуже 10−3.